Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，a₂是a₁和a₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，知Sn+1=2n-1，（S1+1）=2n-1（a1+1），Sn-1+1=2n-2（a1+1），故an=2n-2（a1+1），n≥2，由此能求出an=2n-1．
（2）由an=2n-1，知nan=n×2n-1，故Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{nan}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，
∴Sn+1=2n-1（S1+1）=2n-1（a1+1）①
Sn-1+1=2n-2（a1+1）②
①-②得
an=2n-2（a1+1），n≥2
a2=a1+1，
a3=2（a1+1）
a2是a1和a3的等比中项，故
a22=a1a3，
（a1+1）2=a1•2（a1+1），
解得a1=1，（a1=-1则a2=0不合题意舍去）
故an=2n-1．
（2）由an=2n-1，知nan=n×2n-1，
∴Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1，①
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②
②-①得
Tn=n×2n-（2+21+22+23+…+2n-1）
=n×2n-
=n×2n-2n+1．