Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在t∈N^*，使得方程在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用导数求得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，结合切线与直线6x+y+1=0平行时斜率相等，列出方程，解出待定系数．
（2）将方程等价转化h（x）=2x3-10x2+37=0，利用h（x）的导数判断其单调性，利用单调性判断h（x）=0的根的情况．
【解析】
（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）=ax2-5ax，（a＞0）．
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是：f′（1）=-3a=-6．
∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．
（2）方程=0等价于方程 2x3-10x2+37=0．
设h（x）=2x3-10x2+37，则h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）．
在区间x∈（0，）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
在区间（-∞，0），或（，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（）是极小值．
∵h（3）=1＞0，h（）=-＜0，h（4）=5＞0，
∴方程h（x）=0在区间（3，），（，4）内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．
而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．
画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．
所以存在惟一的正整数t=3，使得方程f（x）+=0在区间（t，t+1）内有且只有两个不同的实数根．