Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer

（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（-2，1）．
（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
【解析】
（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（-2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为-，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-，0），B（0，1+2k），
又-＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）
=（4k++4）≥（4+4）=4，
当且仅当4k=，即k=时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0．