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已知函数manfen5.com 满分网的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和为Sn,则S10=( )
A.manfen5.com 满分网
B.29-1
C.45
D.55
函数y=f(x)与y=x在(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…,(n+1,n+1).即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的根依次为3,4,…n+1.方程f(x)-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式. 【解析】 当0<x≤1时,有-1<x-1<0,则f(x)=f(x-1)+1=2x-1, 当1<x≤2时,有0<x-1≤1,则f(x)=f(x-1)+1=2x-2+1, 当2<x≤3时,有1<x-1≤2,则f(x)=f(x-1)+1=2x-3+2, 当3<x≤4时,有2<x-1≤3,则f(x)=f(x-1)+1=2x-4+3, 以此类推,当n<x≤n+1(其中n∈N)时,则f(x)=f(x-1)+1=2x-n-1+n, 所以,函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点为:(0,1)和(1,2), 由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后: ①将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位,即得到函数f(x)=2x-1和y=x的图象, 取x≤0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当x≤0时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=0. ②取①中函数f(x)=2x-1和y=x图象-1<x≤0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, 即得f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当0<x≤1时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=1. ③取②中函数f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到f(x)=2x-2+1和y=x在1<x≤2上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当1<x≤2时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=2. ④以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),… (n+1,n+1). 即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3,4,…,n+1. 综上所述方程f(x)-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,1,2,3,4,…, 其通项公式为:an=n-1,前n项的和为 Sn=, ∴S10=45, 故选C.
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