如图，几何体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°...

如图，几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且 manfen5.com 满分网

，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B₁-DE-F的余弦值．

（Ⅰ）由已知条件，在直角三角形DBB1，B1C1E，DCE中分别求出DB1，B1E，DE的长度，由边的关系能够证出 △DB1E为等腰直角三角形；（Ⅱ）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB1E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B1-DE-F的余弦值．（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a 因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，∴BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，∴BC∥B1C1 所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a 因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，则，所以所以△DB1E为等腰直角三角形；（II）【解析】取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1 以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，则所以设面DB1E的法向量为，则，即且令z1=1，则设面DFE的法向量为，则即且令x2=1，则则=，则二面角B1-DE-F的余弦值为．

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考点分析：

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现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

	月收入不低于55百元的人数	月收入低于55百元的人数	合计
赞成	a=	c=
不赞成	b=	d=
合计

（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考公式： manfen5.com 满分网

，其中n=a+b+c+d．
参考值表：

P（K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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试题属性

题型：解答题
难度：中等