Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e为自然对数的底数）
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

Answer

（I）把a等于1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；
（II）f（x）小于0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x属于（0，）时f（x）大于0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；
（III）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a等于2时不合题意，当a不等于2
时，求出f′（x）=0时x的值，根据x属于（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．
【解析】
（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f'（x）=1-，
由f'（x）＞0，得x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（II）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．
令，则，
再令，
则，故m（x）在上为减函数，于是，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，
故要使恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2-4ln2；

（III）g'（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1-e＞0，
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；当a≠2时，f'（x）=，x∈（0，e]
当x=时，f'（x）=0．
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①
此时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

又因为，当x→0时，f（x）→+∞，
，
所以，对任意给定的x∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），
使得f（xi）=g（x）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=，
则h，令h'（a）=0，得a=0或a=2，
故当a∈（-∞，0）时，h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；
当时，h'（a）＜0，函数h（a）单调递减．
所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，
即②对任意恒成立．
由③式解得：．④
综合①④可知，当时，对任意给定的x∈（0，e]，
在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），
使f（xi）=g（x）成立．