Question

已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer

（1）由a=2，b=-3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．
（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【解析】
（1）∵，
，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）max=F（1）=2
（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，
，，
∵，
∴，即 ，∴，
令，x∈（x1，+∞）．只需证，
，令 ，则 ，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0，
H（x）=（x+x1）ln-2（x-x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．