Question

阅读下列文字，然后回答问题：
对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时，[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯（Gauss）函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．例如当您在学习和使用计算器时，在用到的算法语言中，就有这种取整函数．
试求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

Answer

根据对数的运算法则，可得当正整数x和k满足2k≤x≤2k+1-1时，[log2x]=k．依此规律，可得原式由1个0，2个1，22个2，…，29个9和1个10组成，再用等比数列求和公式和错位相减法，即可算出原式的值．
【解析】
根据题意，得
∵log21=0，∴[log21]=0
又∵log22、log23∈[1，2），∴[log22]+[log23]=1
∵log24、log25、…、log27∈[2，3），∴[log24]=[log25]=…=[log27]=2
依此类推，得[log28]=[log29]=…=[log215]=3；[log216]=[log217]=…=[log231]=4；
[log232]=[log233]=…=[log263]=5；[log264]=[log265]=…=[log2127]=6；
[log2128]=[log2129]=…=[log2255]=7；[log2256]=[log2257]=…=[log2511]=8；
[log2512]=[log2513]=…=[log21023]=9
结合[log21024]=[10]=10，可得
[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]
=0+2×1+22×2+23×3+24×4+25×5+26×6+27×7+28×8+29×9+10
=9×210-（2+22+23+…+29）+10=8204．