Question

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由A（a，0）、B（0，b），知，由与共线，知，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，故，，△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵与共线，
∴，又a2-b2=1（3分）
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程为（5分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，
消去y，得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴，（7分）
△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0（*）                 （8分）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴，即x1x2+y1y2＜0（9分）
又
由得，
依题意且满足（*）       （11分）
故实数m的取值范围是（12分）