Question

设函数．
（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若对于∀x₁∈（0，e]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，）

Answer

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求出导函数，利用过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，可求点P的坐标；
（Ⅱ）求导函数，f'（x）＜0，可得函数的单调减区间；f'（x）＞0，可得出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，由此可求b的取值范围．
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）设点P（x，y）（x＞0），当a=1时，f（x）=lnx-x-1，则y=lnx-x-1，，
∴（3分）
解得，故点P 的坐标为（e2，1-e2）（4分）
（Ⅱ）=
∵，∴（5分）
∴当0＜x＜1，或时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0
故当时，函数f（x）的单调递增区间为；
单调递减区间为（0，1），（7分）
（Ⅲ）当时，
由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数，在（2，e]上为减函数，且，
∵，又，∴（e-1）2＜3，
∴f（e）＞f（1），故函数f（x）在（0，e]上的最小值为（9分）
若∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）                                         （10分）
又，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，
此时b＞1
综上，b的取值范围是（12分）