Question

中心在原点的椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆E上是否存在一点P，使得过P点的两条斜率之积，与圆C相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）确定x2+y2-4x+2=0的圆心C（2，0），可得c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；
（2）设P（x，y），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2-4x+2=0相切，可得k1，k2是方程[（2-x）2-2]k2+2（2-x）yk+y2-2=0的两个实根，结合P在椭圆上，即可求得结论．
【解析】
（1）由x2+y2-4x+2=0得（x-2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）
∵椭圆的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心，离心率为．
∴c=2，=，∴a=4，
∴b2=a2-c2=12
∴椭圆E的方程为；
（2）设P（x，y），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y-y=k1（x-x），l2：y-y=k2（x-x），且k1k2=
由l1与圆C：x2+y2-4x+2=0相切得=
∴[（2-x）2-2]k12+2（2-x）yk1+y2-2=0
同理可得[（2-x）2-2]k22+2（2-x）yk2+y2-2=0
从而k1，k2是方程[（2-x）2-2]k2+2（2-x）yk+y2-2=0的两个实根
所以①，且k1k2==
∵，
∴5x2-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x0=得y=±满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）