Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是    ．

Answer

根据y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点，f（x）=x2-2x=16无根，可得x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x有3个零点，且x∈（-6，-1]时，f（x）=x2-2x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．
【解析】
y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点，
但当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x=16无根
即当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x有3个零点
由f（x）+f（x+5）=16，
即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x2-2x无零点
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，
在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2009]，x∈（2009，2013]
在x∈[0，4]函数有两个零点，
在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，
在x∈（2004，2013]共有两个零点，
综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604
故答案为：604