Question

数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为T_n，证明：．

Answer

（1）由，先分别令n=1，2，3，求出a1=，a2=，a3=．由此猜想an=．再用数学归纳法证明．
（2）由an=，知==-2n，故===（），由此利用裂项求和法能够证明数列的前n项和Tn＜．
【解析】
（1）∵，
∴=1，解得a1=．
=1，解得a2=，
，解得a3=．
由此猜想an=．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=，成立；
②假设n=k时成立，即，
则当n=k+1时，+=1，
∴=，解得，也成立．
∴an=．
（2）∵an=，
∴==-2n，
∴===（），
∵数列的前n项和为Tn，
∴Tn=[（1-）+（）+（）+…+（）+（）+（）]
=（1+--）
=--＜．
故．