Question

已知向量=（a_n，2ⁿ），=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量 与 垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由向量 与 垂直，得2nan+1=2n+1an，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an
（2）由an•bn=n•2n-1，则Sn=1+2×2+3×22+…+（n-1）×2n-2+n×2n-1，利用错位相减法可求其和．
【解析】
（1）∵向量 与 垂直，∴2nan+1-2n+1an=0，
 即2nan+1=2n+1an，…（2分）
∴=2∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列…（4分）
∴a=2n-1．        …（5分）
（2）∵bn=log2a2+1，∴bn=n
∴an•bn=n•2n-1，…（8分）
∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n-1）×2n-2+n×2n-1    …①
∴2Sn=1×2+2×22+…（n-1）×2n-1+n×2n   …②…（10分）
由①-②得，-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n==（1-n）•2n=（1-n）2n-1…（12分）
∴Sn=1-（n+1）2n+n•2n+1=1+（n-1）•2n．…（14分）