Question

如图所示，角A为钝角，且，点P、Q分别在角A的两边上．
（1）AP=5，PQ=，求AQ的长；
（2）设的值．

Answer

（1）由A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用余弦定理得到关于AQ的方程，求出方程的解即可得到满足题意的AQ的长；
（2）由cosα的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式求出sinA的值及cosA的值，然后把2α+β变为α+（α+β），利用两角和的正弦函数公式化简后，分别将各自的值代入即可求出所求式子的值．
【解析】
（1）∵∠A是钝角，，∴，
在△APQ中，PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA，
∴，
解得AQ=2或AQ=-10（舍）即AQ=2；
（2）由cosα=，得sinα=，
又sin（α+β）=sinA=，cos（α+β）=-cosA=，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=．