Question

已知椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设O为坐标原点，取C₂上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C₂相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．

Answer

（1）利用椭圆的离心率、参数a、b、c的关系及菱形的面积计算公式即可得出；
（2）利用线段的垂直平分线、抛物线的定义即可得出；
（3）利用向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．
【解析】
（1）由题意可知解得
所以椭圆C1的方程是．
（2）∵|MP|=|MF2|，∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C2的方程y2=4x．
（3）∵以OS为直径的圆C2相交于点R，∴以∠ORS=90°，即．
设S （x1，y1），R（x2，y2），，．
∴=x2（x2-x1）+y2（y2-y1）==0，
∵y1≠y2，y2≠0，化简得，
∴，
当且仅当，即，y2=±4时等号成立．
圆的直径|OS|====，
∵≥64，∴当=64，y1=±8，，
所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．