Question

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

Answer

（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）先用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得-（x1-x2）2＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
【解析】
（1）当a=1时，g（x）=x3+2x2-2x，g′（x）=x2+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-＜x＜-2+        …（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （-2-，2+）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x-2
依题意知  =a（）2+4×-2-
=-（x1-x2）2＜0 …（5分）
因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax2+4x-2=a（x+）2-2-，a＞0．
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-＜0    …（7分）
①当-2-＜-4即0＜a＜2时，M∈（-，0）且f（M）=-4
令ax2+4x-2=-4解得  x=        …（8分）
此时M取较大的根，即M==…（9分）
∵0＜a＜2，∴M==＞-1     …（10分）
②当-2-≥-4即a≥2时，M＜-且f（M）=4
令ax2+4x-2=4解得 x=            …（11分）
此时M取较小的根，即 M==…（12分）
∵a≥2，∴M==≥-3当且仅当a=2时取等号  …（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3  …（14分）