Question

已知直线（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0（m∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（I）条件中给出一个直线系，需要先做出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．
（II）设出直线的方程和两个交点的坐标，把直线与圆锥曲线的方程联立写出判别式的条件和根与系数的关系，根据所给的条件，代入不等式求出k的范围．
【解析】
（Ⅰ）由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0得（x-3y-1）+m（3x+2y-3）=0，
由，解得F（1，0）．
设椭圆C的标准方程为，则
解得，
从而椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ） 过F的直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
因点F在椭圆内部必有△＞0，
有，
∴|FA|•|FB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|=（1+k2）|x1x2-（x1+x2）+1|=
由，得1≤k2≤3，解得或，
∴直线l的斜率的取值范围为．