Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA₁．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A₁N∥平面AB₁M．

Answer

（Ⅰ）先根据∠ACB=90°得到AC⊥CB，再由侧面ACC1A1⊥平面ABC根据面面垂直的性质定理可得到BC⊥平面ACC1A1，又由AA1⊂平面ACC1A1，从而可得证．
（II）先连接A1B，交AB1于O点，再连接MO，根据O，M分别为A1B，BN的中点由中位线定理得到OM∥A1N，从而可根据线面平行的判定定理证明A1N∥平面AB1M，得证．
证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，
又AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1．
（II）连接A1B，交AB1于O点，连接MO，
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N
又OM⊂平面AB1M，A1N不属于平面AB1M，
所以A1N∥平面AB1M．