Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=，BB₁=2．
（1）求证：平面AC₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer

（1）要证明平面AC1B⊥平面ABC，先证明C1B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC1AB⊥，由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决；而要证明C1B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（2）要确定E点的位置，使得EA⊥EB1，由三垂线定理，必有BE⊥B1E，通过解直角三角形BEB1解决．
（1）证明：在△BCC1中，
∵BC=1，B1C=BB1=2，∠BCC1=，
∴BC1==，
∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，
∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂面BB1C1C，
∴BC1⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC，
∵BC1⊂平面AC1B，
∴平面AC1B⊥平面ABC．
（2）【解析】
如图1，EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
从而B1E⊥平面ABE，且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E，
不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x，
又∵∠B1C1C=π，∴B1E2=1+x2+x，
在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC1的中点时，EA⊥EB1．