Question

求下列数列的前n项和S_n：
（1）a，2a²，3a³，…，naⁿ，…；
（2）1×3，2×4，3×5，4×6，…

Answer

（1）分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等差数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得；
（2）其通项为an=n（n+2）=n2+2n，根据通项对数列各项进行分组求和，再运用公式即可求得；
【解析】
（1）当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=；
当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，①
aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，②
①-②得，（1-a）Sn=a+a2+a3+a4+…+an-nan+1=-nan+1，
所以Sn=．
所以当a=1时，Sn=；当a≠1时，Sn=．
（2）数列通项an=n（n+2）=n2+2n，
则Sn=1×3+2×4+3×5+4×6+…+n（n+2）
=（12+2×1）+（22+2×2）+（32+2×3）+（42+2×4）+…+（n2+2n）
=（12+22+32+…+n2）+2（1+2+3+4+…+n）
=+2×=n2+n．