Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，求下列条件下数列的通项公式a_n．
（1）；
（2）a₁=2，a_n+1=a_n+3n+2；
（3）a₁=1，；    
（4）a₁=1，a_n+1=3a_n+2．

Answer

（1）在递推式中取n=1可求首项，当n≥2时，由an=Sn-Sn-1化简整理可求an，然后验证n=1时是否成立，若不成立，则通项公式要分写；
（2）由给出的递推式，采用累加法求数列的通项公式；
（3）根据给出的递推式，可采用累积法求数列的通项公式；
（4）把给出的递推式配方，然后构造出一个新数列{an+1}，该数列是等比数列，求出an+1后即可得到an．
【解析】
（1）由．
当n=1时，a1=S1=2×5-2=8，
当n≥2时，=8•5n-1．
当n=1时此式成立，
所以；
（2）由an+1=an+3n+2．
则an+1-an=3n+2，an-an-1=3n-1（n≥2）．
又a1=1，
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（3n-1）+[3（n-1）-1]+[3（n-2）-1]+…+（3×2-1）+1
=3（2+3+4+…+n）-（n-1）+1==；
（3）由，且a1=1≠0，
∴（n≥2），
则==；
（4）由an+1=3an+2，得：an+1+1=3（an+1），
∵a1=1，
∴a1+1=1+1=2≠0，
则．
所以，数列{an+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
则，
所以，．