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设函数,其中常数a>1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若当x≥0时,f(...

设函数manfen5.com 满分网,其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
(1)先求出导函数,利用导数大于0对应的为原函数的增区间,导数小于0对应的为原函数的减区间,即可求f(x)的单调性; (2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,所以须满足最小值大于0,解不等式组即可求a的取值范围. 【解析】 (1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),(2分) 由已知a>1,∴2a>2,∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2, 令f′(x)<0,解得2<x<2a,(5分) 故当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(6分) (2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.(7分) =,f(0)=24a.(9分) 则即解得1<a<6, 故a的取值范围是(1,6).(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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