Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer

（1）在平面BC1D内找到一条直线与已知直线AB1平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行，而找平行的方法一般是找三角形的中位线或找平行四边形．
（2）根据题中的垂直关系表达出四棱锥的体积进而得到等式求出BC的数值，结合这题中的线面垂直关系作出二面角，再证明此角就是所求角然后求出即可．
【解析】
（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1．
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）【解析】
依题意知，AB=BB1=2，
∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，
设BC=a，
在Rt△ABC中，，，
∴四棱锥B-AA1C1D的体积==a．
依题意得，a=3，即BC=3．
∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1=B，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，
∴AB⊥平面BB1C1C．
取BC的中点F，连接DF，则DF∥AB，且．
∴DF⊥平面BB1C1C．
作FG⊥BC1，垂足为G，连接DG，
由于DF⊥BC1，且DF∩FG=F，
∴BC1⊥平面DFG．
∵DG⊂平面DFG，
∴BC1⊥DG．
∴∠DGF为二面角C-BC1-D的平面角．
由Rt△BGF～Rt△BCC1，得，
得，
在Rt△DFG中，=．
∴二面角C-BC1-D的正切值为．