Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．

Answer

（1）因为，且an＞0，所以推出a1=1，；由，知，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由（1）得，，由此能求出λ的最小值．
（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y-2，由此能求出正整数x，y的值．
【解析】
（1）因为，
其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0，
当n=1时，由，
解得a1=1，…（2分）
当n=2时，由，
解得； …（4分）
由，
知，
两式相减得，
即，…（5分）
亦即2Sn+1-Sn=2，从而2Sn-Sn-1=2，（n≥2），
再次相减得，又，
所以
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）
其通项公式为，n∈N*．…（8分）
（2）由（1）可得，
，…（10分）
若对n∈N*恒成立，
只需=3×=3-对n∈N*恒成立，
∵3-＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．
（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，
则成等差数列，
整理，得2x=1+2y-2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．