Question

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0
（2）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）min＞0
（3）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞，即证[F（1）F（2）…F（n）]2＞（en+1+2）n，变形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）]…[F（n）F（1）]＞（en+1+2）n，可证F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n-1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．问题得以解决．
【解析】
（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex-ex，所以f'（x）=ex-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=ex-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）
f′（x） - +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．
（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=ex+e-x，∴F（x1）F（x2）=，
∴F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n-1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．
由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）n
故，n∈N*．