Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b²=3ac，则角A的大小为    ．

Answer

由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A-C）=0，得A-C=±90°，
由此可得A的大小．
【解析】
△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°-（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A-C）-cos（A+C）]=（cos（A-C）+），
解得 cos（A-C）=0，故A-C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．
故答案为A=，或A=