Question

在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；
（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．
【解析】
设P点的坐标为（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为．
∴•=（x≠±2）
整理得P点的轨迹方程为（x≠±2）
（2）设直线l的方程为x=ny+1
联立方程x=ny+1与（x≠±2）得
（3n2+4）y2+6ny-9=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=
△MON的面积S=•|OP|•|y1-y2|====
令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增
∴当t=1时，y=3t+取最小值4
此时S取最大值
此时直线的方程为x=1