Question

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

Answer

（1）解一元二次不等式求出集合A和集合B，由A∩B=∅，可得集合的端点满足a≤2 且 a2+1≥4，由此求得实数a的取值范围．
（2）由条件判断-2≤a≤2，求出CRA，分a2+1＜2、2≤a2+1≤4，a2+1＞4三种情况求出（CRA）∩B．
【解析】
（1）∵集合A={y|y2-（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}={y|（y-a）（y-a2-1）＞0}={y|y＜a，或y＞a2+1}，
B={y|y=x2-x+，0≤x≤3}={y|y=（x-1）2+2，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}．
A∩B=∅，
∴a≤2 且 a2+1≥4，解得≤a≤2，故实数a的取值范围为[，2]．
（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，判别式△=a2-4≤0，
解得-2≤a≤2．
由（1）可得CRA={y|a≤y≤a2+1 }，B={y|2≤y≤4}．
当 a2+1＜2，即-1＜a＜1时，（CRA）∩B=∅．
当2≤a2+1≤4，即 1≤a≤ 或-≤a≤-1 时，（CRA）∩B=[2，a2+1]．
当a2+1＞4时，即 2≥a＞ 或-2≤a＜-时，（CRA）∩B=B=[2 4]．