Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（1）由离心率为及a2=b2+c2可得a，b关系，由菱形面积得×2a×2b=，联立方程组即可求得a，b；
（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），由∠AOB为锐角，得，即x1x2+y1y2=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]＞0，联立直线方程与椭圆方程消去y得x的二次方程，则△＞0，由韦达定理可把上式变为k的不等式，联立可得关于k的不等式组，解出即可；
【解析】
（1）由=得a2=2c2=2b2，
依题意×2a×2b=，即ab=，解方程组得a=，b=1，
所以椭圆C的方程为．
（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得，且，，
于是=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=．
∵∠AOB为锐角，∴，
∴=＞0，解得，
又，∴，解得-＜k＜-或＜k＜，
所以直线l的斜率k的取值范围是（-，-）∪（，）．