Question

已知函数f（x）=log₂+log₂（x-1）+log₂（p-x）．
（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的定义域与值域．

Answer

（1）确定函数的定义域，利用对数的运算性质，化简函数，再确定内函数的值域，即可求得函数的值域；
（2）先确定函数的定义域，再利用对数的运算性质，化简函数，分类讨论，确定内函数的值域，即可求得函数的值域．
【解析】
（1）由题意，可得，∴1＜x＜7
又∵函数f（x）=log2+log2（x-1）+log2（7-x）=log2（x+1）（7-x）=log2[-（x-3）2+16]．
令g（x）=-（x-3）2+16，由于函数的定义域为{x|1＜x＜7}，则g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，所以函数f （x）的值域为（-∞，4]
（2）由题意，可得，∴x＞1且x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
函数f（x）=log2+log2（x-1）+log2（p-x）=log2（x+1）（p-x）=log2[-x2+（p-1）x+p]．
令t=-x2+（p-1）x+p==g（x）
①当，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log2（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，log2（p-1））；
②当，即p≥3时，g（p）＜t＜g（），即0＜t≤，
∴f（x）≤2log2（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，log2（p-1））；当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）．