Question

设f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）a＞0且；
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．

Answer

（I）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和的范围即可．
（II）欲证明方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根，根据根的存在性定理，只须证明某一个函数值小于0即可，最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可．
【解析】
证明：（I）因为f（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故．
（II）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为，
在的两边乘以，得．
又因为f（0）＞0，f（1）＞0，
而，
所以方程f（x）=0在区间与内分别有一实根．
故方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．