Question

如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE．求证：
（1）平面BCEF⊥平面ACE；
（2）直线DF∥平面ACE．

Answer

（1）通过证明平面ACE内的直线CE与AC都垂直BC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCEF⊥平面ACE；
（2）通过平面BDF∥平面ACE，利用DF⊂平面BDF，即可证明DF∥平面ACE．
证明：（1）因为CE⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，
所以CE⊥BC，…（2分）
因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC，…（3分）
因为AC∩CE=C，AC，CE⊂平面ACE，
所以BC⊥平面ACE，…（5分）
因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE．…（7分）
（2）由（1）AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，
所以BD⊥BC，
因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD，…（9分）
因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以BD∥平面ACE．…（11分）
因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE，
因为BD∩BF=B，BD，BF⊂平面BDF，
所以平面BDF∥平面ACE，
因为DF⊂平面BDF，所以DF∥平面ACE．…（14分）