Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A₁，A₂分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A₂的半径为a，过点A₁作圆A₂的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程；
（2）求的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

Answer

（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，根据已知条件可判断△OPA2为正三角形，从而可得OP斜率、直线OP方程；
（2）由（1）可得直线A2P的方程和A1P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A1P的方程与椭圆方程可得Q点横坐标，而=，把各点横坐标代入上式即可求得比值；
（3）设OM的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S1•S2，变形后用基本不等式可其最大值；
【解析】
（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，
又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°．
又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形，
所以∠POA2=60°，
所以直线OP的方程为．
（2）由（1）知，直线A2P的方程为①，A1P的方程为②，
联立①②解得．
因为，即，所以，，
故椭圆E的方程为．
由解得，
所以==． 
（3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0），
联立方程组解得，
所以；
用代替上面的k，得．
同理可得，，．
所以．
因为，
当且仅当k=1时等号成立，
所以S1•S2的最大值为．