Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a+2（a≥0），，n∈N^*．
（1）若a=0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|a_n+1-a_n|，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜a₁．

Answer

（1）由a=0可得a1=2，，两边同时平方后再同时取对数后可得，从而可得数列{lgan+lg2}为公比的等比数列．结合等比数列的通项公式可求lgan，进而可求an
（2）由已知，可得，n≥2时，，两式相减可得an+1-an＜0，从而有bn=|an+1-an|=-（an+1-an），然后再利用叠加法可求和，即可证明
【解析】
（1）若a=0时，a1=2，，
所以且an＞0．
两边取对数，得lg2+2lgan+1=lgan，…（2分）
化为，
因为lga1+lg2=2lg2，
所以数列{lgan+lg2}是以2lg2为首项，为公比的等比数列．…（4分）
所以，所以．…（6分）
（2）由，得，①
当n≥2时，，②
①-②，得2（an+1+an）（an+1-an）=an-an-1，…（8分）
由已知an＞0，所以an+1-an与an-an-1同号．…（10分）
因为，且a＞0，所以恒成立，
所以a2-a1＜0，所以an+1-an＜0．…（12分）
因为bn=|an+1-an|，所以bn=-（an+1-an），
所以Sn=-[（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an+1-an）]=-（an+1-a1）=a1-an+1＜a1．…（16分）