Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，AB=2，M，N分别是棱BB₁，CC₁上的点，且BM=4，CN=2．
（1）求异面直线AM与A₁C₁所成角的余弦值；
（2）求二面角M-AN-A₁的正弦值．

Answer

（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到；
（2）求出二面角的两个平面的法向量的夹角即可．
【解析】
（1）以AC的中点为原点O，分别以OA，OB所在直线为x，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（-1，0，0），，
N（-1，2，0），，A1（1，6，0），C1（-1，6，0）．
∴，．
∴，
所以异面直线AM与A1C1所成角的余弦值为．
（2）平面ANA1的一个法向量为=（0，0，1）．
设平面AMN的法向量为=（x，y，z），因为，，
由得令x=1，则y=1，z=．
∴．
∴===-，
所以二面角M-AN-A1的正弦值==．