Question

已知函数，n∈N^*．
（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{a_n}，使得对一切n∈N^*都成立？并说明理由．

Answer

（1）先利用二项式定理化简f（x），再求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在等差数列{an}，结合组合数和性质得到a1+an+1=n，再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式，故存在等差数列{bn}，满足条件．
【解析】
（1）=xn-1（x-1）n，f'（x）=（n-1）xn-2（x-1）n+xn-1•n（x-1）n-1=xn-2（x-1）n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得，
因为n≥2，所以x1＜x2＜x3．…（2分）
当n为偶数时f（x）的增减性如下表：

x （-∞，0） 1 （1，+∞）
f'（x） + + - +
f（x） ↗ 无极值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以当时，；当x=1时，y极小=0．…（4分）
当n为奇数时f（x）的增减性如下表：

x （-∞，0） 1 （1，+∞）
f'（x） + - + +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 无极值 ↗

所以x=0时，y极大=0；当时，．…（6分）
（2）假设存在等差数列{an}使成立，
由组合数的性质，
把等式变为，
两式相加，因为{an}是等差数列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=an+1+a1，
故，
所以a1+an+1=n． …（8分）
再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，
进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式为．…（10分）