Question

已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE=AD=EF=BC，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：EG⊥平面BDF．

Answer

（1）利用平行四边形的判定定理即可得到四边形ADGB是平行四边形，利用其性质即可得到AB∥DG，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用平行四边形的判定定理可得四边形AEFD是平行四边形，得到DF∥AE，由AE⊥底面BEFC，利用线面垂直的性质可得DF⊥底面BEFC．得到DF⊥EG．再证明四边形BEFG是菱形，
即可得到EG⊥BF，利用线面垂直的判定即可得到结论．
证明：（1）∵AD∥EF∥BC，AD=EF=BC，G是BC的中点．
∴ADBG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG．
∴AB∥平面DEG；
（2）∵AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴DF∥AE，
∵AE⊥底面BEFC，∴DF⊥底面BEFC．
∴DF⊥EG．
连接FG，∵EF=BC，G是BC的中点，EF∥BC，
∴四边形BEFG是平行四边形，
又∵BE=EF，∴四边形BEFG是菱形，
∴BF⊥EG．
∵DF∩BF=F，∴EG⊥平面BDF．