Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．4或2

Answer

由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．
【解析】
∵当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）2
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=[1-（2x-3）2]
此时当x=时，函数取极大值
当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）2
此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜x≤4
则f（x）=cf（x）=c（1-（x-3）2，
此时当x=6时，函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴
解得c=1或2．
故选C