Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18．且b_n+1+b_n-1=2b_n（n≥2）．
（I）数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n•c_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）根据由Sn求an的方法可求{an}的通项公式，由题意可得{bn}为等差数列，由条件求其公差d，可得结果；
（II）由（I）结合题意可得，=（2n-1）•2n-1．，下面可由错位相减法求和，得到Tn．
解由题意可得Sn=2-an，①
当n≥2时，Sn-1=2-an-1，②
①-②得，an=Sn-Sn-1=an-1-an，即
又a1=S1=2-a1，可得a1=1，易知an-1≠0，
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以
由bn+1+bn-1=2bn可知数列{bn}为等差数列，设其公差为d，
则，所以d==2，
故bn=b1+（n-1）d=2n-1
（II）由（I）结合题意可得，=（2n-1）•2n-1．
则+…+（2n-1）×2n-1   ③
两边同乘以2得，+…+（2n-1）×2n  ④
③-④得，-Tn=1+2（21+22+23+…+2n-1）-（2n-1）2n
整理得，-Tn=1+=-（2n-3）•2n-3
故