Question

如图，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（I）求三棱柱C-A₁B₁C₁的体积V；
（II）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由A1D⊥平面ABCD，可得A1D为两个底面的距离即三棱锥C-A1B1C1的高，再利用三棱锥C-A1B1C1的体积V=计算公式即可得出；
（Ⅱ）通过建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面ADB1的法向量，利用BD1的方向向量与其法向量的夹角即可得出线面角．
【解析】
（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABCD，∴A1D⊥AD，A1D即为两个底面的距离．
在Rt△A1DA中，，AA1=2，AD=1，
由勾股定理得．
又=．
∴三棱锥C-A1B1C1的体积V==；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A1（0，0，），B1（0，1，），D1（-1，0，），C1（-1，1，）．
∴，，．
设平面ADB1的法向量为，
则，即，
令z=1，则y=，x=0，∴．
设直线BD1与平面ADB1所成角为θ，
则===．