Question

已知a＞0，则f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R的充要条件是（ ）
A．∃x∈R，ax²≥bx+c
B．∃x∈R，ax²≤bx+c
C．∀x∈R，ax²≥bx+c
D．∀x∈R，ax²≤bx+c

Answer

已知a＞0，则f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R，就是g（x）=ax2+ax+1的值域为[0，+∞），本题中函数f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R故内层函数的定义域不是全体实数，可由△≥0保障 f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R定义域不是全体实数，从而求出a的范围；
【解析】
a＞0，则f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R，令g（x）=ax2-bx-c，
∴g（x）=ax2-bx-c的值域为[0，+∞），
∴△=（-b）2-4a（-c）=b2+4ac≥0，
说明方程ax2-bx-c=0，有实数根，
与x轴有交点，也即∃x∈R，ax2-bx-c≤0，
若∃x∈R，ax2≤bx+c，说明存在x使得g（x）=ax2-bx-c＜0，又a＞0，开口向上，
g（x）与x轴有交点，可得△≥0，
所以f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R，
故f（x）=lg（ax2-bx-c）的值域为R的充要条件是：∃x∈R，ax2≤bx+c，
故选B；