Question

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer

（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；
（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；
（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e-2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e-2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e-2比较即可得出要证的结论．
【解析】
（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），
∴=，x∈（0，+∞），
由已知，，∴k=1．
（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），
设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），h'（x）=-（lnx+2），
当x∈（0，e-2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e-2，1）时，h'（x）＜0，
可得h（x）在x∈（0，e-2）时是增函数，在x∈（ e-2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，
又h（1）=0，h（e-2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1
∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，
当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e-2，故只需证明g（x）＜1+e-2在0＜x＜1时成立．
当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴．
设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F'（x）=-（lnx+2），
当x∈（0，e-2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e-2，1）时，F'（x）＜0，
所以当x=e-2时，F（x）取得最大值F（e-2）=1+e-2．
所以g（x）＜F（x）≤1+e-2．
综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e-2．