Question

如图，由半圆x²+y²=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x²-1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点（2，3）．
（1）求a的值；
（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把点（2，3）代入y=a（x2-1），可求a的值；
（2）由题意可知kQB•kQA=1，利用斜率公式，即可求得结论．
【解析】
（1）把点（2，3）代入y=a（x2-1），可得3=a（22-1），∴a=1；
（2）由题意可知∠QBA=∠PBA，∠APB=90°
∴∠QBA+∠BAP=90°
∴kQB•kQA=1
设Q（x，），其中x＞0
∴=x-1，=x+1，
∴kQB•kQA==1
∵x＞0，∴
∴k=
∴存在实数k=1+，使得∠QBA=∠PBA．