Question

已知函数f₁（x）=x²，f₂（x）=alnx（a∈R）•
（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f₁（x）•f₂（x）的极值；
（II）若存在x∈[1，e]，使得f₁（x）+f₂（x）≤（a+1）x成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：当x＞0时，lnx+-＞0．
（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer

（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；
（II）根据题意存在x∈[1，e]，使得f1（x）+f2（x）≤（a+1）x成立，设g（x）=x2+alnx-（a+1）x，则问题转化为g（x）min≤0即可，再利用导数工具得出g′（x），对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；
（III）问题等价于x2lnx＞，构造函数h（x）=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可证得结论．
【解析】
（I）f（x）=f1（x）•f2（x）=x2alnx，
∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞e，由f′（x）＜0，得0＜x＜e．
∴函数f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，
∴f（x）的极小值为f（e）=-，无极大值．
（II）根据题意存在x∈[1，e]，使得f1（x）+f2（x）≤（a+1）x成立，
设g（x）=x2+alnx-（a+1）x，则g（x）min≤0即可，
又g′（x）=x+-（a+1）=，
①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，
∴g（x）min=g（1）=-（a+1）≤0，得-≤a≤1．
②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，
由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，
∴g（x）min=g（a）=-a2+alna-a=-a2-a（1-lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．
③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，
∴g（x）min=g（e）=）=-e2+a-ae-e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．
综上，实数a的取值范围a．
（III）问题等价于x2lnx＞，
由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为-，
设h（x）=，h′（x）=-得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，
∴h（x）max=h（2）=，
因-＞0，
∴f（x）min＞h（x）max，
∴x2lnx＞，∴lnx-（）＞0，
∴lnx+-＞0．