先取n=1,2,3探求a、b、c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a、b、c所确定的等式都成立即可.
【解析】
分别用n=1,2,3代入解方程组
下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,由上可知等式成立;
(2)假设当n=k时,等式成立,
则当n=k+1时,左边=1•[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=1•(k2-12)+2(k2-22)++k(k2-k2)+1•(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)++k(2k+1)
=(k+1)4-(k+1)2.
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.