Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在区间（-2，6）内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，则有 loga（2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，
解得：＜a≤2，
故答案为 （，2]．