Question

某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该 产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N^*）的函数关系式；
（说明：销售利润=实际销售收人一成本）
（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u（x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N^*，问年产量X为多少百台时，工厂所得纯利润最大？

Answer

（Ⅰ）利用销售利润=实际销售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；
（Ⅱ）利用工厂所得纯利润=工厂销售利润-人员的年支出费用，及二次函数的单调性即可得出．
【解析】
（Ⅰ），由题意可得，y=5000x-500x2-500-1000x，
即y=-500x2+4000x-500，（x≤5，x∈N*）．
（Ⅱ）设工厂所得纯利润为h（x），则
h（x）=-500x2+4000x-500-u（x）
=-500x2+3500x-1000
=（x≤3，x∈N*）．
∴当x=3时，函数h（x）取得最大值h（3）=5000．
当年产量为3百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为5000万元．