Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由已知可得，数列{an}是等比数列，结合已知及等比数列的通项公式可求
（II）由bn=（2n-1）an=（2n-1）•2n，结合通项的特点考虑利用错位相减求和
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式，把已知an的通项代入可整理出m与n的关系式，结合基本不等式可求m的最小值，进而可求
【解析】
（I）由已知可得，数列{an}是等比数列
∵a1=2，a2=4
∴=2
∴=2n
（II）∵bn=（2n-1）an=（2n-1）•2n
∴
 2Sn=1•22+3•23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1
两式相减可得，
=2
=-6+2n-2-n•2n+2+2n+1
∴
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式
∵
∴22n=m（2n-4）成立
∵m∈N*∴2n＞4
∴==
当且仅当2n-4=4即n=3时取等号
∵2n＞4
∴
∴2n-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有（16，3）