Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=1，求函数h（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h （x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数：y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使线段AB的中点的横坐标x与直线AB的斜率k之间满足k=f′（x）？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）写出h（x），把a=1代入后求导函数，求出导函数在定义域内的零点，然后判断导函数在不同区间段内的符号，从而得到原函数的单调性，最后得到函数h（x）的极值情况；
（Ⅱ）根据函数y=h （x）在（1，+∞）上单调递增，则其导函数在（1，+∞）内大于0恒成立，分离变量后可求不等式一侧所对应的函数的值域，从而求出a的取值范围；
（Ⅲ）利用反证法思想，假设两点存在，由线段AB的中点的横坐标x与直线AB的斜率k之间满足k=f′（x），利用两点求斜率得到k，把x也用两点的横坐标表示，整理后得到∴，令t=，引入函数u（t）= （0＜t＜1），通过求函数的导函数判断函数单调性得到即，从而得出矛盾，说明假设错误．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=lnx，g（x）=a（x2-x）（a≠0，a∈R），
得：h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2+ax，
当a=1时，h（x）=lnx-x2+x．
=．
∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）有极大值h（1）=0，无极小值；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2+ax，
则．
∵函数y=h（x）在（1，+∞）上单调递增，则≥0对x＞1恒成立．
即对x＞1恒成立．
∵x＞1时，2x2-x＞1，∴，又a≠0，∴a＜0．
则a的取值范围是（-∞，0）．
（Ⅲ）假设存在，不妨设0＜x1＜x2，
，
，
由k=f′（x）⇒，
∴．
令t=，u（t）= （0＜t＜1），则，
∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）＜u（1）=0，
∴，即．
故k≠f′（x）．
所以不存在符合题意的两点．